2014年湖南师范大学045104学科教学（数学）考研大纲

　　5、二次型
　　考试内容
　　二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。
　　考试要求
　　（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。
　　（2）理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。
　　（3）理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，掌握惯性定理的证明思想。
　　（4）理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。
　　6、线性空间
　　考试内容
　　集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。
　　考试要求
　　（1）掌握线性空间的定义及性质，会判断一个代数系统是否为线性空间。
　　（2）理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。
　　（3）基变换与坐标变换的关系。
　　（4）掌握基之间的过渡矩阵及其性质。
　　（5）理解线性子空间的定义及判别定理，掌握线性方程组的解空间的概念和性质，掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。
　　（6）掌握子空间的交与和的定义及性质，掌握维数公式并能熟练运用。
　　（7）理解子空间的直和的概念，以及判断直和的若干充要条件。
　　7、线性变换
　　考试内容
　　线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若尔当(Jordan)标准形介绍。
　　考试要求
　　（1）掌握线性变换的定义及性质。
　　（2）掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。
　　（3）掌握线性变换与矩阵的联系，掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
　　（4）理解矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。
　　（5）掌握n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。
　　（6）掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念，掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
　　（7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是A-子空间，理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握将空间V按特征值分解成不变子空间和直和表达式。
　　（8）了解若尔当(Jordan)标准形及其相关性质。
　　8、欧几里德空间
　　考试内容
　　定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离。
　　考试要求
　　（1）理解欧氏空间的定义及性质，理解内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别。
　　（2）理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
　　（3）理解正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
　　（4）理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
　　（5）理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。
　　三、参考书目
　　1、复旦大学数学系编.数学分析（第六版）.高等教育出版社,2007
　　2、北京大学数学系编，高等代数(第三版)，高等教育出版社,北京（2003）；

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：中学数学教学论
　　一、考试形式与试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间：
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　（一）基础理论部分75%
　　（二）教学设计部分25%
　　4)题型结构
　　a:论述、分析与解答题，5小题，每小题15分，共75分
　　b:教学设计题，1小题，每小题25分，共25分
　　二、考试内容与考试要求
　　本门课程考试主要检查学生了解数学教育学的学科发展、中学数学教育改革的基本情况，掌握数学教学论的理论基础的程度，以及学生对中学数学教师的日常工作（包括制定教学计划、备课、上课、辅导、考查、课外活动指导等）的初步能力。本门课程考核要求由低到高共分为"了解"、"理解"、"掌握"三个层次。其含义：了解，指学生能懂得所学知识，能在有关问题中认识或再现它们；理解，指学生清楚地理解所学知识，并且能正确地使用它们；掌握，指学生能较为深刻理解所学知识，在此基础上能够准确、熟练地使用它们进行有关推导和计算。
　　（一）基础理论部分
　　1、中学数学教学论的研究对象与任务
　　考试内容中学数学教学论的研究对象与任务
　　考试要求
　　了解：中学数学教学论的研究对象与任务。
　　理解：中学数学教学论的特点。
　　掌握：中学数学教学论的学习方法。
　　2、中学数学教学的课程论基础
　　考试内容中学数学课程目标，中学数学课程内容，中学数学课程改革。
　　考试要求
　　了解：确定中学数学课程目标的依据，影响中学数学课程内容的因素和选材原
　　则，中学数学课程改革的情况。
　　理解：中学数学课程的目标、内容、体系编排的原则和方法。
　　3、中学数学教学的心理学基础
　　考试内容数学知识的学习、数学技能和数学问题解决的学习，数学能力及
　　其培养。
　　考试要求
　　理解：数学知识的有意义学习过程、数学技能的形成过程和数学问题解决的过
　　程，数学能力的结构。
　　掌握：获得数学概念、掌握数学定理以及数学解题教学的心理分析，数学能力培养的方式。
　　4、中学数学教学的逻辑基础
　　考试内容数学概念、数学命题、数学中的推理、数学证明。
　　考试要求
　　了解：数学概念、数学命题、数学推理、证明的有关知识。
　　理解：数学概念的定义，数学命题的运算，各种常用的数学推理和证明方法。
　　掌握：数学概念的分类，数学命题运算在中学数学中的应用，推理和证明规则。
　　5、中学数学教学原则
　　考试内容数学教学的一般原则、数学教学的特殊原则。
　　考试要求
　　理解：数学教学的一般原则。
　　掌握：数学教学的特殊原则。
　　6、数学概念的教学
　　考试内容数学概念教学概述、数概念的教学、形体概念的教学、关系概念的教学、概率统计概念的教学。
　　考试要求
　　了解：数学概念教学的一般知识。
　　理解：数学概念教学的一般要求和教学途径。
　　掌握：数概念、形体概念、关系概念、概率统计概念等的教学。
　　7、数学命题的教学
　　考试内容数学命题教学概述、数学公理的教学、几何定理的教学、代数定理的教学、数学演算的教学。
　　考试要求
　　了解：数学命题教学的一般知识。
　　理解：数学命题教学的一般要求和教学途径。
　　掌握：数学公理、几何定理、代数定理、数学演算的教学。
　　8、数学思想方法的教学
　　考试内容数学思想方法概述、中学数学中的主要数学思想方法。
　　考试要求
　　理解：中学数学中的主要数学思想方法。
　　掌握：数学思想方法的教学。
　　9、数学问题解决的教学
　　考试内容数学问题解决概述、数学问题解决的程序和策略性原则、数学问题解决的常用方法、数学建模教学。
　　考试要求
　　了解：数学问题解决的有关教学知识和波利亚的解题思想。
　　理解：数学问题解决的常用方法。
　　掌握：数学问题解决的程序和策略性原则。
　　（二）教学设计部分
　　考试内容中学数学教学设计
　　考试要求
　　分析给定材料（数学概念、数学定理、公式法则、数学试题等）的教学价值.为实现这些教学价值设计一个教学过程（你怎样教给定材料）．
　　三、参考书目
　　李求来，昌国良.中学数学教学论.湖南师范大学出版社.
　　曹才翰，蔡金法.数学教育学概论.江苏教育出版社.
　　王子兴.数学教育学导论.广西师范大学出版社.
　　十三院校协编组.中学数学教材教法(总论、分论).高等教育出版社.
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　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：概率统计
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　概率论部分65%数理统计部分35%
　　4)题型结构
　　a:单项选择题，6小题，每小题3分，共18分
　　b:填空题，6小题，每小题3分，共18分
　　c:解答题(包括证明题)，6小题，每小题分，共64分
　　二、考试内容与考试要求
　　（一）概率论部分
　　1、随机事件与概率
　　考试要求和內容:
　　(1).了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.
　　(2).理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.
　　(3).理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率,掌握计算有关事件概率的方法.
　　（五个基本概念，两种概型的概率计算，概率计算的五个基本公式及灵活运用。伯努力重复试验。）
　　2、一维随机变量及其分布
　　考试要求和內容:
　　(1).理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数()的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.
　　(2).理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.
　　(3).了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
　　(4).理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为
　　(5).会求随机变量函数的分布.
　　3、二维随机变量及其分布
　　考试要求和內容:
　　(1).理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.
　　(2).理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
　　(3).掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.
　　(4).会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
　　4、数字特征与极限定理
　　考试要求和內容:
　　(1)．理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.
　　(2)．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望.
　　(3)．了解切比雪夫不等式.
　　(4)．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数定律)
　　(5)．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率