2014年湖南师范大学070104应用数学考研大纲

　　考研网快讯，据湖南师范大学研究生院消息，2014年湖南师范大学应用数学考研大纲已发布，详情如下：

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：数学分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　数学分析
　　4)题型结构
　　a:填空题，10小题，每小题7分，共70分
　　b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分
　　c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10分，共50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、极限论
　　考试内容
　　①各种极限的计算；②单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用；③连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用；④极限定义的熟练掌握等.
　　考试要求
　　（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.
　　（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．
　　（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．
　　（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明.
　　2、单变量微分学
　　考试内容
　　①微分中值定理（包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等）
　　的灵活运用（包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证明等）；②Talor公式的灵活运用（包括用Lagrange余项形式证不等式、用Peano余项形式估计阶以及求极限等）；③各种形式导数的计算；④导数的定义和运用等.
　　考试要求
　　（1）熟练掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等．
　　（2）熟练掌握Talor公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用Lagrange余项形式证不等式、Peano余项形式估计阶以及求极限等.
　　（3）熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算．
　　（4）熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握利用导数定义进行证明或计算.
　　3、单变量积分学
　　考试内容
　　①各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧；②广义
　　积分的计算和敛散性判别；③定积分的定义和性质的灵活运用等.
　　考试要求
　　（1）熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点．
　　（2）熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明．
　　（3）熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算，熟练掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明，掌握常用可积函数类．
　　4、级数论
　　考试内容
　　①各种数项级数尤其是正项级数的敛散性判别；②数项级数的性质
　　③函数列和函数项级数的一致收敛性判别，给定函数Fourier级数的展开和特殊点的收敛性；④函数列和函数项级数一致收敛性质的灵活运用；⑤幂级数的收敛性和展开等知识的熟练掌握.
　　考试要求
　　（1）熟练掌握级数的敛散性判别，尤其是正项级数和交错级数敛散性判别.
　　（2）掌握数项级数的一些常用性质，尤其是绝对收敛级数与条件收敛结束的常规性质.
　　（3）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的判别，尤其是用定义、优级数判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法判别函数项级数的一致收敛性，熟练掌握给定函数的Fourier展开，能给出Fourier级数在特殊点的收敛性.
　　（4）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的性质运用，包括连续性、可积性和可微性，能利用这些性质进行理论证明.
　　（5）熟练掌握幂级数收敛区间的求法，熟练掌握常规函数的幂级数展开，并掌握一些特殊幂级数和函数的求法.
　　5、多变量微分学和参变量积分
　　考试内容
　　①可微的定义；②求复合函数以及隐函数的偏导数；③多元函数极值理论；④参变量积分的一致收敛性判别；⑤参变量积分的计算；⑥参变量积分一致收敛性质的运用等.
　　考试要求
　　（1）掌握多元函数可微的定义，能熟练利用定义证明某些常规函数的可微性，掌握多元函数可微、连续、可求偏导之间的关系.
　　（2）熟练掌握多元函数复合函数求偏导数尤其是高阶偏导数，掌握方程或方程组确定的隐函数偏导的计算.
　　（3）熟练掌握多元函数极值的计算，并能计算有界闭域上连续函数的最值..
　　（4）熟练掌握含参变量广义积分一致收敛性的判别.
　　（5）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的计算.
　　（6）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的连续性、可积性和可导性，并能利用这些性质进行计算和证明..
　　6、多元积分学
　　考试内容
　　①二重积分、三重积分的计算；②格林公式、高斯公式的灵活运用；③两类曲线积分、两类曲面积分的计算；④各种积分之间的相互关系等
　　考试要求
　　（1）熟练掌握二重积分、三重积分的计算，熟练掌握降维、换元法，尤其是极坐标、球坐标变换.
　　（2）熟练掌握Gree公式、Gauss公式的条件和结论.
　　（3）熟练掌握第一类和第二类曲线积分和曲面积分的计算.
　　（4）掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，熟练掌握利用Gree公式求第二类曲线积分、利用Gauss公式求第二类曲面积分、利用Stokes公式求空间第二类曲线积分..
　　三、参考书目
　　[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社,1979
　　[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社,2001
　　[3]张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：841考试科目名称：高等代数
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试。
　　3)试卷内容结构
　　北京大学数学系所编的高等代数第一章至第九章。
　　4)题型结构
　　a:填空题，5小题，每小题6分，共30分；
　　b:计算题，4小题，每小题15分，共60分；
　　c:证明题，4小题，每小题15分，共60分。
　　二、考试内容与考试要求
　　1、多项式
　　考试内容
　　数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。
　　考试要求
　　（1）掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域。
　　（2）正确理解数域P上一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。
　　（3）正确理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。
　　（4）正确理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
　　（5）正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。了解因式分解定理。
　　（6）正确理解和掌握k重因式的定义。
　　（7）掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。
　　（8）理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
　　（9）正确理解和掌握本原多项式的定义及性质。掌握整系数多项式的有理根的计算。
　　（10）了解多元多项式的基本概念。
　　2、行列式
　　考试内容
　　排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式的计算，克拉默(Cramer)法则，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法规则。
　　考试要求
　　（1）理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。
　　（2）深刻理解和掌握n级行列式的定义，并能用定义计算一些特殊行列式。
　　（3）熟练掌握行列式的基本性质。
　　（4）正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。
　　（5）正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握计算行列式的基本方法与技巧。
　　（6）熟练掌握克拉默(Cramer)法则，
　　（7）了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法规则解决简单的问题。
　　3、线性方程组
　　考试内容
　　消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。
　　考试要求
　　（1）正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。
　　（2）理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。
　　（3）正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。
　　（4）深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。
　　（5）熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。
　　（6）正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系。了解解空间的概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。