2014年湖南师范大学070104应用数学考研大纲

　　4、矩阵
　　考试内容
　　矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。
　　考试要求
　　（1）掌握矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。
　　（2）掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
　　（3）正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
　　（4）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
　　（5）正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
　　（6）理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。
　　5、二次型
　　考试内容
　　二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。
　　考试要求
　　（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。
　　（2）理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。
　　（3）正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，掌握惯性定理的证明思想。
　　（4）正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。
　　6、线性空间
　　考试内容
　　集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。
　　考试要求
　　（1）正确理解和掌握线性空间的定义及性质，会判断一个代数系统是否为线性空间。
　　（2）理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。
　　（3）基变换与坐标变换的关系。
　　（4）正解理解和掌握基之间的过渡矩阵及其性质。
　　（5）正确理解线性子空间的定义及判别定理，掌握线性方程组的解空间的概念和性质，掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。
　　（6）掌握子空间的交与和的定义及性质，掌握维数公式并能熟练运用。
　　（7）深刻理解子空间的直和的概念，以及判断直和的若干充要条件。
　　7、线性变换
　　考试内容
　　线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若尔当(Jordan)标准形介绍，最小多项式。
　　考试要求
　　（1）理解和掌握线性变换的定义及性质。
　　（2）掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。
　　（3）深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系，掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
　　（4）理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。
　　（5）掌握n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。
　　（6）掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
　　（7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是A-子空间，深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握将空间V按特征值分解成不变子空间和直和表达式。
　　（8）了解若尔当(Jordan)标准形及其相关性质。
　　（9）掌握最小多项式的定义和基本性质，会求任意Jordan标准形矩阵的最小多项式。
　　8、λ-矩阵
　　考试内容
　　-矩阵的定义，-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当(Jordan)标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。
　　考试要求
　　（1）了解-矩阵的定义，理解-矩阵可逆的充要条件。
　　（2）了解-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。
　　（3）了解-矩阵的等价标准形
　　（4）了解特征矩阵E-A之间的等价和矩阵之间的相似的关系。
　　9、欧几里德空间
　　考试内容
　　定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离，最小二乘法。
　　考试要求
　　（1）深刻理解欧氏空间的定义及性质，深刻理解内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别。
　　（2）正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
　　（3）正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
　　（4）正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
　　（5）深刻理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。
　　（6）正确计算向量之间的距离，了解最小二乘法原理。
　　三、参考书目
　　1、北京大学数学系编，高等代数(第三版)，高等教育出版社,北京（2003）；
　　2、张禾瑞，郝炳新编，高等代数(第五版)，高等教育出版社，北京（2008）。

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：泛函分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　泛函分析100%
　　4)题型结构
　　a:判断题，20分
　　b:填空题，20分
　　c:计算题，10分
　　d：证明题，50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、距离空间和赋范线性空间
　　考试内容
　　（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。
　　（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。
　　考试要求
　　（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
　　（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。
　　2、有界线性算子与连续线性泛函
　　考试内容
　　有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。
　　考试要求
　　掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。
　　3、Hilbert空间
　　考试内容
　　内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　考试要求
　　熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　4、Banach空间的基本定理
　　考试内容
　　Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱收敛。
　　考试要求
　　熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛。
　　教材及主要参考书：
　　[1]江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社。
　　[2]程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社。