2014年湖南师范大学070102计算数学考研大纲

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：实变函数
　　一、考试形式与试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间：
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　（一）测度论与可测函数部分40%
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分60%
　　4)题型结构
　　a:计算题，2小题，每小题11分，共22分
　　b:证明题，6小题，每小题13分，共78分
　　二、考试内容与考试要求
　　（一）测度论与可测函数部分
　　1、n维欧式空间中的点集
　　考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
　　考试要求：
　　要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
　　要求考生理解Cantor集。
　　要求考生熟练掌握分离定理。
　　2、测度论
　　考试内容：Lebesgue外测度，可测集、可测集类
　　考试要求：
　　测度的定义和性质；
　　掌握Lebesgue外测度和测度的定义和基本性质；
　　练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。
　　掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；
　　了解特殊的两类集合，波雷耳集。
　　3、可测函数
　　考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛
　　考试要求：
　　熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；
　　理解叶果洛夫定理；
　　理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
　　熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分
　　1、Lebesgue积分的概念与性质
　　考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理
　　考试要求：
　　理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算，勒贝格积分与Riemann积分的关系；
　　熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；
　　熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。
　　牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。
　　2、微分和不定积分
　　考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
　　考试要求：
　　熟练掌握有界变差的定义，理解Lebesgue定理；
　　充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
　　三、参考书目
　　[1]江泽坚等编《实变函数论》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版.
　　[2]程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版.

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：数值分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　数值分析100%
　　4)题型结构
　　a:计算题，约40分
　　b:证明题，约30分
　　c:综合题，约30分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、绪论
　　考试内容
　　绝对误差绝对误差限相对误差相对误差限有效数字误差传播算法稳定性减少误差传播的途径。
　　考试要求
　　（1）了解科学研究的三种主要方法：实验，理论，科学计算；
　　（2）了解三大误差；
　　（3）理解算法存在数值稳定性问题；
　　（4）了解几种误差，误差运算法则，数值计算的若干原则。
　　2、插值逼近
　　考试内容
　　Lagrange插值Newton插值误差估计差分差分表均差表Hermite插值样条函数插值分段低次多项式插值。
　　考试要求
　　（1）掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；
　　（2）理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；
　　（3）了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；
　　（4）掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；
　　（5）了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
　　3、最佳逼近
　　考试内容
　　离散最小二乘逼近最佳平方逼近正规方程组正交多项式最佳平方逼近最佳一致逼近基本原理。
　　考试要求
　　（1）掌握离散最小二乘逼近、最佳平方逼近的基本原理，正规方程组的形成以及求解；
　　（2）掌握正交多项式的基本性质及与最佳平方逼近的关系；
　　（3）掌握几类基本的正交多项式及正交化手续；
　　（4）了解最佳一致逼近的基本原理及某些简单的最佳一致逼近问题；
　　4、数值微积分
　　考试内容
　　数值求积代数精度插值型求积公式Newton-Cotes求积公式复化求积公式Romberg算法Gauss求积公式复化梯形公式复化Simpson公式截断误差误差公式两点数值微分公式三点数值微分公式误差阶插值型求导公式。
　　考试要求
　　（1）掌握数值求积的基本思想、代数精度的概念与插值型求积公式的性质；
　　（2）熟练地利用Newton-Cotes求积公式、各种复化求积公式、Romberg算法和Gauss求积公式计算数值积分；
　　（3）掌握复化梯形公式和Simpson公式的误差分析方法及公式；
　　（4）掌握两点数值微分公式、三点数值微分公式及其误差阶；
　　（5）了解插值型求导公式的基本思想。
　　5、常微分方程数值解法
　　考试内容
　　常微分方程初值问题Euler方法Runge-Kutta方法。
　　考试要求
　　掌握求解常微分方程初值问题的Euler方法、Runge-Kutta方法。
　　6、方程求根
　　考试内容
　　非线性方程求根二分法迭代法的收敛性收敛速度Newton法弦截法收敛阶Newton法的收敛性。
　　考试要求
　　（1）了解非线性方程求根的二分法；
　　（2）掌握迭代法的收敛性及收敛速度的定义；
　　（3）掌握Newton法、弦截法的计算格式、几何意义以及相应的收敛阶；
　　（4）了解Newton法收敛性证明的基本思路。
　　7、解线性方程组的直接方法
　　考试内容
　　线性方程组高斯消元法矩阵的三角分解LU分解法全主元素消去法列主元素消元法高斯-若当消去法平方根法追赶法向量范数矩阵范数方程组的性态方程的稳定性。
　　考试要求
　　（1）掌握求解线性方程组的高斯消元法和列主元素消元法；
　　（2）能灵活地运用LU分解法、平方根法和追赶法求解相应类型的线性代数方程组；
　　（3）掌握向量范数、矩阵范数的基本概论与性质；
　　（4）了解方程组的性态及稳定性。
　　8、解线性方程组的迭代法
　　线性方程组Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法SOR迭代法迭代法的收敛性。
　　考试要求
　　（1）掌握方程组迭代解法的基本思想以及相关的收敛性判断定理；
　　（2）理解用正交相似变换约化矩阵；
　　（3）掌握求解线性代数方程组的Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的计算格式；
　　（4）掌握运用相关定理判断上述算法求解实际问题时的收敛性。
　　9、矩阵的特征值与特征向量计算
　　考试内容
　　计算矩阵特征值特征向量幂法反幂法。
　　考试要求
　　（1）掌握计算矩阵的按模最大特征值和相应特征向量的幂法；
　　（2）掌握计算矩阵的按模最小特征值和相应特征向量的反幂法。
　　三、参考书目
　　[1]李庆扬，王能超，易大义编，《数值分析》（第四版），华中科技大学出版社（获教育部高等学校优秀教材二等奖，全国优秀畅销书奖）。
　　[2]全惠云，邹秀芬，康立山，谢资清，何迎生编，《数值分析与应用程序》及所带软件包。

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