2014年湖南师范大学070103概率论与数理统计考研大纲

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：泛函分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　泛函分析100%
　　4)题型结构
　　a:判断题，20分
　　b:填空题，20分
　　c:计算题，10分
　　d：证明题，50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、距离空间和赋范线性空间
　　考试内容
　　（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。
　　（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。
　　考试要求
　　（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
　　（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。
　　2、有界线性算子与连续线性泛函
　　考试内容
　　有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。
　　考试要求
　　掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。
　　3、Hilbert空间
　　考试内容
　　内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　考试要求
　　熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　4、Banach空间的基本定理
　　考试内容
　　Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱收敛。
　　考试要求
　　熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛。
　　教材及主要参考书：
　　[1]江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社。
　　[2]程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社。

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：实变函数
　　一、考试形式与试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间：
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　（一）测度论与可测函数部分40%
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分60%
　　4)题型结构
　　a:计算题，2小题，每小题11分，共22分
　　b:证明题，6小题，每小题13分，共78分
　　二、考试内容与考试要求
　　（一）测度论与可测函数部分
　　1、n维欧式空间中的点集
　　考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
　　考试要求：
　　要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
　　要求考生理解Cantor集。
　　要求考生熟练掌握分离定理。
　　2、测度论
　　考试内容：Lebesgue外测度，可测集、可测集类
　　考试要求：
　　测度的定义和性质；
　　掌握Lebesgue外测度和测度的定义和基本性质；
　　练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。
　　掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；
　　了解特殊的两类集合，波雷耳集。
　　3、可测函数
　　考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛
　　考试要求：
　　熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；
　　理解叶果洛夫定理；
　　理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
　　熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分
　　1、Lebesgue积分的概念与性质
　　考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理
　　考试要求：
　　理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算，勒贝格积分与Riemann积分的关系；
　　熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；
　　熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。
　　牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。
　　2、微分和不定积分
　　考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
　　考试要求：
　　熟练掌握有界变差的定义，理解Lebesgue定理；
　　充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
　　三、参考书目
　　[1]江泽坚等编《实变函数论》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版.
　　[2]程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版.

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