2014年湖南师范大学070101基础数学考研大纲

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：考试科目名称：微分方程
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　常微分方程部分50%偏微分方程部分50%
　　4)题型结构
　　A:填空题，20小题，每小题2分，共40分
　　B:计算题，4小题，每小题10分，共40分
　　C:证明题,2小题，每小题10分，共20分
　　二、考试内容与考试要求
　　（一）常微分方程部分
　　1、常微分方程的基本概念
　　考试内容
　　常微分方程的导出及基本概念
　　考试要求
　　(1)理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念。
　　(2)掌握常微分方程定义,阶数,线性和非线性,解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题。
　　2、一阶微分方程的初等解法
　　考试内容
　　变量分离方程与变量变换、线性方程及常数变易法、恰当方程与积分因子、一阶隐方程与参数表示
　　考试要求
　　(1)掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念。
　　(2)熟练掌握线性方程的常数变易法。
　　(3)掌握解恰当方程的积分因子法。
　　(4)掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法。
　　3、一阶微分方程的解的存在定理
　　考试内容
　　解的存在唯一性定理与逐步逼近办法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、奇解
　　考试要求
　　(1)掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
　　(2)理解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。
　　(3)掌握奇解的概念及相关定理。
　　4、高阶微分方程
　　考试内容
　　线性常微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和幂级数解法。
　　考试要求
　　(1)熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程.
　　(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系），了解拉普拉斯变换法。
　　(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。
　　5、线性微分方程组
　　考试内容
　　存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组
　　考试要求
　　(1)理解存在唯一性定理、掌握线性微分方程组的一般理论。
　　(2)掌握Picard逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数变易公式。
　　(3)了解矩阵指数的定义及性质、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变换的应用。
　　6、非线性微分方程和稳定性
　　考试内容
　　零解的稳定性、相平面、按线性近似决定微分方程组的稳定性
　　考试要求
　　(1)掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性。
　　(2)掌握二维线性微分方程孤立奇点的分类，并画出相图。
　　(3)掌握按线性近似判定奇点的分类与稳定性。
　　（二）偏微分方程部分
　　1、方程的导出和定解问题
　　考试内容
　　偏微分方程的基本概念；三类典型方程的导出；偏微分方程定解问题的提法与适定性问题；叠加原理；二阶线性偏微分方程的化简与分类
　　考试要求
　　（1）了解偏微分方程的概念，掌握定解条件的提法、定解问题及定解问题适定性。
　　（2）掌握二阶线性偏微分方程的化简与分类，会将两个自变量的二阶线性偏微分方程化成标准型。
　　2、波动方程与行波法
　　考试内容
　　(1)一维波动方程初值问题:达朗贝尔公式；依赖区域、决定区域与影响区域；无界弦的受迫振动与齐次化原理；半无界弦的振动问题
　　(2)三维波动方程初值问题和球面波：三维波动方程球对称解；三维波动方程的Possion公式及物理意义；非齐次方程初值问题
　　(3)二维波动方程的初值问题及降维法
　　考试要求
　　（1）了解如何用达朗贝尔公式求解初值问题；了解依赖区域、影响区域及决定区域；能熟练应用达朗贝尔公式、Possion公式、及降维法求解二维波动方程。
　　（2）能熟练应用能量不等式证明初值问题解的唯一性及连续依赖性。
　　（3）能利用延拓法求解半无限长振动方程初边值问题。
　　（4）能利用齐次化原理求解非齐次方程初值问题。
　　3、分离变量法
　　考试内容
　　(1)齐次方程和齐次边界条件的定解问题：波动方程的初边值问题、热传导方程的初边值问题、圆域内拉普拉斯方程的边值问题
　　(2)非齐次方程的定解问题
　　(3)非齐次边界条件的处理
　　考试要求
　　（1）会利用分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的定解问题。
　　（2）会利用特征函数展开求解非其次方程定解问题。
　　（3）会处理非齐次边界条件定解问题。
　　4、积分变换法
　　考试内容
　　(1)Fourier变换：Fourier变换的理论基础及性质
　　(2)Fourier变换的应用：热传导方程初值问题的解法、半无界问题、三维热传导方程初值问题、弦振动方程的Fourier变换解法
　　(3)Laplace变换的引入及性质
　　考试要求
　　（1）了解Fourier变换定义及性质、了解Laplace变换的定义及性质、卷积的定理及性质。
　　（2）会应用Fourier变换求解某些初值问题。
　　（3）会应用Laplace变换求解某些初边值问题。
　　5、调和方程与格林函数法
　　考试内容
　　Laplace方程定解问题的提法、Green公式和应用、调和方程基本解和解的积分表达式、Green函数的性质及一些特殊区域上的Green函数和Dirichlet问题的解；拉普拉斯方程的极值原理与应用
　　考试要求
　　（1）掌握Laplace方程定解问题的提法：第一边值问题、第二边值问题及第三边值问题、内问题及外问题。
　　（2）掌握Green公式，了解调和方程的基本解及基本积分表达式。
　　（3）理解Green函数的性质及会应用一些特殊区域上的Green函数求解Dirichlet问题的解。
　　（4）能应用拉普拉斯方程极值原理证明解的唯一性及连续依赖性。.
　　6、抛物型方程
　　考试内容
　　热传导方程的极值原理与应用、热传导方程的能量方法与应用
　　考试要求
　　（1）会利用热传导方程的极值原理证明解的唯一性及连续依赖性。
　　（2）会利用热传导方程能量方法证明解的适定性。
　　三、参考书目
　　[1]《常微分方程》，王高雄编，高等教育出版社
　　[2]《数学物理方程》，陈才生编，东南大学出版社

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：实变函数
　　一、考试形式与试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间：
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　（一）测度论与可测函数部分40%
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分60%
　　4)题型结构
　　a:计算题，2小题，每小题11分，共22分
　　b:证明题，6小题，每小题13分，共78分
　　二、考试内容与考试要求
　　（一）测度论与可测函数部分
　　1、n维欧式空间中的点集
　　考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
　　考试要求：
　　要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
　　要求考生理解Cantor集。
　　要求考生熟练掌握分离定理。
　　2、测度论
　　考试内容：Lebesgue外测度，可测集、可测集类
　　考试要求：
　　测度的定义和性质；
　　掌握Lebesgue外测度和测度的定义和基本性质；
　　练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。
　　掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；
　　了解特殊的两类集合，波雷耳集。
　　3、可测函数
　　考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛
　　考试要求：
　　熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；
　　理解叶果洛夫定理；
　　理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
　　熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理
　　（二）Lebesgue积分与不定积分部分
　　1、Lebesgue积分的概念与性质
　　考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理
　　考试要求：
　　理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算，勒贝格积分与Riemann积分的关系；
　　熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；
　　熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。
　　牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。
　　2、微分和不定积分
　　考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
　　考试要求：
　　熟练掌握有界变差的定义，理解Lebesgue定理；
　　充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
　　三、参考书目
　　[1]江泽坚等编《实变函数论》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版.
　　[2]程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版.