2014年湖南师范大学070101基础数学考研大纲

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：考试科目名称：近世代数
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟．
　　2)答题方式：闭卷，笔试
　　3)试卷内容结构
　　基本概念13.3%；
　　群33.3%；
　　环与域群33.3%；
　　整环里的因子分解20%
　　4)题型结构
　　a:单项选择题，20分
　　b:填空题，30分
　　c:解答题(包括证明题)，50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1．基本概念
　　考试内容
　　单
　　(满)射的概念与刻画,代数运算的概念与算律,等价关系与集合分类的概念与相互关系.
　　考试要求
　　（1）理解单(满)射的概念.掌握单(满)射的刻画．
　　（2）理解代数运算的概念.了解代数运算的算律.
　　（3）理解等价关系与集合分类的概念.了解它们的相互关系．
　　2、群
　　考试内容
　　半群，群，元素的阶，循环群，变换群，置换群，子群，子群的陪集，正规子群，
　　商群，同态基本定理与同构定理．
　　考试要求
　　（1）理解半群，群的概念．掌握群的刻画．
　　（2）理解元素阶的概念．掌握元素阶的性质与刻画．
　　（3）理解循环群的概念．掌握循环群的性质与结构．
　　（4）了解变换与变换群的概念．理解置换与置换群的概念．掌握置换的表示方法．
　　会计算置换的乘法．理解Cayley定理．
　　（5）理解子群的概念．掌握子群的性质与刻画．
　　（6）理解子群的左（右）陪集的概念，性质与刻画．了解群的左（右）陪集分解．掌
　　握Lagrange定理．
　　（7）理解正规子群的概念．掌握正规子群的刻画．理解正规子群与商群的关系．
　　（8）掌握同态基本定理．理解同构定理．
　　3、环与域
　　考试内容
　　环的概念，子环，理想与商环，同态基本定理，同构定理，素理想与极大理想，商域，
　　多项式环，扩域，有限域．
　　考试要求
　　（1）理解环的概念.了解整环，除环，域，特征等概念．
　　（2）理解子环的概念.了解子环的性质与刻画．
　　（3）理解理想与商环的的概念.掌握环的同态基本定理.了解环的同构定理．
　　（4）理解素理想与极大理想的概念．理解素理想与极大理想的刻画．
　　（5）理解商域的概念．了解商域的性质．
　　（6）理解交换环上多项式环的概念与性质．
　　（7）理解扩域的概念．理解有限扩域的概念．理解有限域的概念与结构．
　　4、整环里的因子分解
　　考试内容
　　不可约元，素元，最大公因子，唯一分解环，主理想环，欧氏环．
　　考试要求
　　（1）理解整环上不可约元，素元，最大公因子的概念．了解不可约元与素元的关系．
　　（2）理解唯一分解环的概念．了解唯一分解环的性质与刻画．
　　（3）理解主理想环的概念．了解主理想环的性质．了解唯一分解环与主理想环的关系．
　　（4）理解欧氏环的概念．了解欧氏环的性质．了解主理想环与欧氏环的关系．
　　三、参考书目
　　[1]朱平天等编,《近世代数》,科学出版社,2007年.
　　[2]张禾瑞编,《近世代数基础》，人民教育出版社,1978年修订本.
　　[3]吴品山编，《近世代数》,人民教育出版社,1979年

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：复变函数
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　复变函数
　　4)题型结构
　　a:证明题，4小题，每小题16分，共64分
　　b:计算题，2小题，每小题18分，共36分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、解析函数
　　考试内容
　　①解析的定义；②C-R条件；③初等解析函数
　　考试要求
　　（1）熟练掌握解析函数的定义，掌握解析与可导的异同.
　　（2）熟练掌握Cauchy-Riemann条件，能利用该条件进行理论证明、进行可导性和解析性的讨论．
　　（3）熟练掌握初等解析函数的定义和性质，如指数函数、三角函数，掌握初等多值函数中幂函数、对数函数的定义.
　　2、复变函数的积分
　　考试内容
　　①复变函数积分的定义②Cauchy积分定理和Cauchy积分公式；③解析函数和调和函数的关系④刘维尔定理
　　考试要求
　　（1）熟练掌握一般复积分的计算．
　　（2）熟练掌握Cauchy积分定理和Cauchy积分公式的条件和结论，熟练掌握Cauchy积分公式的一阶和高阶导数形式，能熟练利用这些公式和定理计算围线或复围线上的复积分.
　　（3）熟练掌握调和函数与解析函数的关系，给定一个调和函数后能熟练计算以这个调和函数为实部或虚部的解析函数．
　　（4）熟练掌握刘维尔定理的条件和结论，能利用该定理进行理论证明.
　　3、解析函数的幂级数表示法
　　考试内容
　　①解析函数的幂级数展开和收敛半径；②解析函数的零点孤立性和唯一性定理
　　考试要求
　　（1）熟练掌握解析函数幂级数展开，熟练计算幂级数的收敛半径．
　　（2）熟练掌握解析函数的零点孤立性和唯一性定理的条件和结论以及相关推论，熟练给出解析函数零点的阶，能熟练利用唯一性定理进行理论证明.
　　4、解析函数的罗朗展式与孤立奇点
　　考试内容
　　①解析函数的罗朗展开；②解析函数的孤立奇点；③整函数与亚纯函数
　　考试要求
　　（1）熟练掌握解析函数在孤立奇点包括无穷远点去心邻域的罗朗展开，熟练掌握解析函数在指定圆环内的罗朗展开..
　　（2）熟练掌握解析函数孤立奇点的分类以及各类孤立奇点的等价判别，熟练掌握解析函数极点阶的判别.
　　（3）掌握整函数与亚纯函数的定义和相关性质.
　　5、残数理论及其应用
　　考试内容
　　①计算残数，残数定理；②用残数求实积分；③幅角原理和儒
　　歇定理
　　考试要求
　　（1）熟练掌握解析函数残数的各类计算方法，熟练掌握残数定理的条件和结论，能熟练利用残数定理求复积分.
　　（2）熟练掌握利用残数求三角有理式定积分，熟练掌握利用残数求有理函数、有理函数与三角函数乘积的区间无限型广义积分.
　　（3）熟练掌握幅角原理和儒歇定理的条件和结论，能判断多项式在指定圆环内零点个数，能熟悉掌握利用儒歇定理进行理论证明.
　　6、保形变换
　　考试内容
　　①解析变换的特性；②线性变换；③某些初等函数所构成的保形变换
　　考试要求
　　（1）熟练掌握非常值解析变换的保域性.
　　（2）熟练掌握线性变换的性质，线性变换的计算..
　　（3）熟练掌握上半平面到上半平面、上半平面到单位圆、单位圆到单位圆一般保形变换的计算以及相关推广，熟练掌握带形区域、两段圆弧构成的二角形区域到上半平面保形变换的计算.
　　三、参考书目
　　[1]钟玉泉编.复变函数论.高等教育出版社,1979
　　[2]范莉莉、何成奇编.复变函数论上海科学技术出版社,1984
　　[3]虞克平编.复变函数轮例题选讲.天津科学技术出版社，1987

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：泛函分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　泛函分析100%
　　4)题型结构
　　a:判断题，20分
　　b:填空题，20分
　　c:计算题，10分
　　d：证明题，50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、距离空间和赋范线性空间
　　考试内容
　　（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。
　　（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。
　　考试要求
　　（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
　　（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。
　　2、有界线性算子与连续线性泛函
　　考试内容
　　有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。
　　考试要求
　　掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。
　　3、Hilbert空间
　　考试内容
　　内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　考试要求
　　熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
　　4、Banach空间的基本定理
　　考试内容
　　Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱收敛。
　　考试要求
　　熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛。
　　教材及主要参考书：
　　[1]江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社。
　　[2]程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社。

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